quinta-feira, 16 de dezembro de 2010

Pirâmide, Cone e Esfera

Introdução

Dando continuidade à unidade de Geometria
Espacial, nesta postagem vamos estudar mais três dos sólidos geométricos: a
pirâmide, o cone e a esfera.

A Pirâmide 


A pirâmide é considerada um dos mais antigos sólidos geométricos
construídos pelo homem. Uma das mais famosas é a pirâmide de Quéops,
construída em 2.500 a.C., com 150 m de altura, aproximadamente - o que
pode ser comparado a um prédio de 50 andares.
Quando pensamos numa pirâmide, vem-nos à cabeça a imagem da pirâmide
egípcia, cuja base é um quadrado. Contudo, o conceito geométrico de pirâmide
é um pouco mais amplo: sua base pode ser formada por qualquer polígono. As
figuras abaixo representam pirâmides:

Algumas definições:
Uma pirâmide é um sólido geométrico, cuja base é um polígono e cujas
faces laterais são triângulos que possuem um vértice comum.


  • A altura da pirâmide é um segmento perpendicular à base e que passa por V (vértice).
  • Uma pirâmide é regular se a base é um polígono regular e as faces são triângulos iguais. Com isso o pé da altura é o centro do polígono da base, como mostram as figuras abaixo:

 O Cone



Um funil ou uma casquinha de sorvete dão a idéia do sólido geométrico
chamado cone. Um cone (mais precisamente, um cone circular reto) é o sólido
obtido da seguinte maneira: tome uma região do plano limitado por uma
circunferência e, de um ponto P situado exatamente acima do centro da
circunferência, trace os segmentos de reta unindo P aos pontos da circunferência
do círculo.

A pirâmide e o Cone
Há muita semelhança entre o cone e a pirâmide. A diferença é que a base do
cone é delimitada por um círculo, em vez de um polígono. Ambos podem ser
imaginados como um conjunto de segmentos que ligam um ponto P, exterior ao
plano, a uma região do plano, como mostra a figura abaixo.
O volume da pirâmide e do cone
Na Aula 63, você viu que o volume do prisma é igual ao produto da sua altura
pela área da base.
É possível mostrar que, se tivermos um prisma e uma pirâmide de mesma
base e mesma altura, o volume do prisma será o triplo do volume da pirâmide.
Você pode comprovar esse fato, experimentalmente. Para isso, basta construir,
em cartolina, um prisma e uma pirâmide de mesma base e mesma altura.


Usando areia ou grãos de arroz, encha a pirâmide e despeje seu conteúdo
no prisma.

Você vai observar que será necessário despejar cerca de três vezes o
conteúdo da pirâmide no interior do prisma, para enchê-lo por completo.
Com isso, concluímos que o volume da pirâmide é um terço do volume do
prisma:



onde A representa a área da base e h, sua altura.




Para determinar o volume do cone, podemos proceder de forma análoga.
Para isso, construa, em cartolina, um cone e um cilindro de mesma base e
mesma altura.

Enchendo o cone com areia, será necessário despejar três vezes seu
conteúdo no interior do cilindro, para enchê-lo.
Portanto, podemos concluir que o volume do cone é a terça parte do volume
do cilindro, de mesma base e mesma altura

Onde A representa a área da base e h, sua altura.
Assim, para toda pirâmide e para todo cone é válida a fórmula:


EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

(1ª Exercício)

(2ª Exercício)



A Esfera




Sem dúvida alguma, a esfera é considerada um dos sólidos mais curiosos que
existem, e sua forma tem sido extremamente útil ao homem.
É possível que os homens tenham criado a forma esférica a partir da
observação e do estudo dos corpos celestes, como o Sol e a Lua. Ou da
verificação de fenômenos como a sombra da Terra projetada sobre a Lua. O
formato de nosso planeta foi reproduzido em diversos objetos até chegar às
bolas de futebol, vôlei e outros.
Matematicamente, a esfera é o conjunto de todos os pontos do espaço cuja
distância a um ponto 0 é igual a uma distância R dada.
O volume da esfera 
A fórmula que dá o volume da esfera foi demonstrada pelo matemático
grego Arquimedes, no século III a.C., em seu livro sobre a esfera e o cilindro.
Usando o método de exaustão, inventado por outro matemático grego
chamado Eudoxo, Arquimedes provou que o volume de uma esfera é igual a
quatro vezes o volume do cone, cujo raio é o raio da esfera e cuja altura é também
o raio da esfera. Para tornar mais clara essa idéia, imagine a experiência que
poderia ser feita com as vasilhas da ilustração abaixo. Observe que uma é semiesférica e a outra é cônica, lembrando uma taça.
Elas têm a mesma boca, isto é, o raio da semi-esfera é igual ao raio da
circunferência do cone. Além disso, elas têm a mesma altura, isto é, a altura do
cone é igual ao raio da semi-esfera.
Despejando duas vezes o conteúdo da vasilha cônica no interior da vasilha
semi-esférica, conseguimos enchê-la completamente (figura abaixo). Isso significa
que a capacidade da semi-esfera é o dobro da capacidade do cone. Portanto,
a capacidade da esfera será quatro vezes a capacidade do cone.
Não é fácil fazer essa experiência. Onde encontrar uma vasilha esférica e
uma vasilha cônica? Entretanto, pela descrição da experiência, você pode
compreender a idéia de Arquimedes. Como dissemos, o grande matemático
grego demonstrou, por dedução, que o volume da esfera é quatro vezes o volume
do cone, que tem o raio da esfera e cuja altura é o raio da esfera.
Posteriormente, outros matemáticos criaram novos raciocínios para calcular
o volume da esfera. Em alguns livros de 2º grau, você pode encontrar uma
dedução para a fórmula do volume da esfera.
Vamos retomar a afirmação de Arquimedes. Observe a figura:

(3º Exercício)


2 comentários: