A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.
Prisma
Um prisma é todo poliedro formado por uma face superior e uma face inferior paralelas e congruentes (também chamadas de bases) ligadas por arestas. As laterais de um prisma são paralelogramos. A nomenclatura dos prisma é dada de acordo a forma da bases. Assim, se temos hexágonos nas bases, teremos um prisma hexagonal. O prisma pode ser classificado em reto quando suas arestas laterais são perpendiculares às bases, e oblíquo quando não são.
Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela:
Seções de um prisma
Seção transversal: É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.
Seção reta (seção normal): É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais.
Princípio de Cavalieri: Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.
Prisma regular
É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares.
Exemplos: Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero. Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado.
Cubo
Definição e Elementos
Cubo é um prisma em que todas as faces são quadradas. O cubo é um prisma quadrangular regular cuja altura é igual à medida da aresta da base.
O cubo da figura tem arestas de medida l, então,
• as diagonais de suas faces medem raiz de 2, pois são diagonais de quadrados de lados com medidas iguais a l.
as diagonais do cubo medem l raiz de 3, pois:
Área Total
A área de um quadrado de lado l é l 2, então a área A da superfície de um cubo de aresta l é:
Paralelepípedos
Definição
Chamamos de paralelepípedo o prisma cujas bases são paralelogramos; dessa forma, todas as faces de um paralelepípedo são paralelogramos.
Paralelepípedo Reto Retângulo
Diagonais de um
paralelepípedo retângulo
No paralelepípedo da figura com dimensões a, b e c, sejam d1 e d, as diagonais da face ABCD e do paralelepípedo, respectivamente.
Área total (AT) de um
paralelepípedo retângulo
Sendo a, b e c as dimensões de um paralelepípedo retângulo, as áreas de cada par de faces opostas são: ab, ac e bc.
Assim,
Volume (V) de um paralelepípedo retângulo
Sendo a, b e c as dimensões do paralelepípedo retângulo, temos:
Exercícios resolvidos:
(VUNESP – 07) Calcular o volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo que suas dimensões são proporcionais a 9, 12 e 20, e que a diagonal mede 100 m.
Resolução
d2 = a2 + b2 + c2
1002 = (20k)2 + (12k)2 + (9k)2
1002 = 625k2
Assim, 25k = 100 
k = 4
k = 4Então, a = 20 · 4 = 80 m
b = 12 · 4 = 48 m
c = 9 · 4 = 36 m
V = a · b · c = 80 · 48 · 36
(Fuvest-SP) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm, são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x é:
a) 16 m d) 19 mb) 17 m e) 20 m
c) 18 m
Resposta: D
Pelo enunciado, o volume do paralelepípedo é igual à soma dos volumes dos cubos.
Assim,
Assim,8 · 8 · x = 63 + 10364 x = 216 + 1 000
64 x = 1 216 x = 19
x = 19(Mackenzie-SP 2000) Se a soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma é 6 480°, então o número de lados da base do prisma é
a) 8 d) 12
b) 9 e) 15
c) 10
Resolução
Sendo n o número de lados da base do prisma, então este possui n faces laterais quadrangulares e duas faces que são polígonos de n lados. Portanto, a soma dos ângulos internos de todas as sua faces é
n · 360° + 2 · (n – 2) · 180°
Conseqüentemente,
n · 360° + 2 · (n – 2) · 180° = 6 480° n = 10
n = 10Resposta: C
Vídeo Geometria Plana
Vídeo Geometria Espacial
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