Números Complexos

Um pouco de história

No século XVI , os matemáticos Cardano (Girolamo Cardano , matemático italiano, 1501-1576) e Bombelli (Rafael Bombelli , matemático italiano, 1526-1572) , entre outros, realizaram alguns progressos no estudo dos números complexos. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.
Opostamente ao senso comum divulgado amplamente nos livros do segundo grau, a construção da teoria dos números complexos não teve origem na análise das equações do segundo grau, mas, sim, na busca da solução da equação do terceiro grau. Dizer que os números complexos surgiram da análise das equações do segundo grau, é tão somente uma aproximação simplificada do conhecimento. Talvez, e muito provavelmente, os autores pretendiam com isto, facilitar o entendimento para os alunos do segundo grau; cumpre-nos entretanto informar a verdade, com base na realidade da história da Matemática.
Didaticamente, entretanto, seguiremos um caminho convencional de abordagem, sem grandes prejuízos. 

Unidade imaginária: 

Define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadrada
de -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 .
Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .

Ex: Ö-16 = Ö16 . Ö-1 = 4.i = 4i

Potências de i :

i⁰ = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = i² . i = -i
i⁴ = (i²)² = (-1)² = 1
i⁵ = i⁴ . i = 1.i = i
i⁶ = i⁵ . i = i . i = i² = -1
i⁷ = i⁶ . i = -i , etc.

Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo
1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero.
Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim , podemos resumir:

i⁴ⁿ = i^r onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).

Exemplo: Calcule i²⁰⁰¹
Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i²⁰⁰¹ = i¹ = i.

NÚMERO COMPLEXO

Definição: 

Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo:
z = a + bi , onde i = Ö-1 é a unidade imaginária .
Exemplos: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3); w = -3 -5i (a = -3 e b = -5) ; u = 100i ( a = 0 e b = 100)

NOTAS:
a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z .
b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária.
Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) .
c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3i .
d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real .
Exemplo: z = 5 = 5 + 0i .
e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja,
o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos.
f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b) . 

CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Dado um número complexo z = a + bi , chama-se conjugado de z e representa-se por , a um outro número complexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da parte imaginária de z .

z = a + bi ® = a - bi
Ex: z = 3 + 5i ; = 3 - 5i

Nota : Sabemos que os números complexos podem também ser representados na forma de pares ordenados .
Assim é que z = a + bi = (a,b).
Portanto , por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas , pode-se representar graficamente qualquer número complexo z num sistema de coordenadas cartesianas , bastando marcar a parte real a no eixo horizontal e a parte imaginária b no eixo vertical . Neste caso , o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo vertical é chamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso , denomina-se plano de Argand-Gauss.
O ponto que representa o número complexo z , denomina-se afixo de z.

Pirâmide, Cone e Esfera

Introdução

Dando continuidade à unidade de Geometria

Espacial, nesta postagem vamos estudar mais três dos sólidos geométricos: a

pirâmide, o cone e a esfera.

A Pirâmide 

A pirâmide é considerada um dos mais antigos sólidos geométricos
construídos pelo homem. Uma das mais famosas é a pirâmide de Quéops,
construída em 2.500 a.C., com 150 m de altura, aproximadamente - o que
pode ser comparado a um prédio de 50 andares.
Quando pensamos numa pirâmide, vem-nos à cabeça a imagem da pirâmide
egípcia, cuja base é um quadrado. Contudo, o conceito geométrico de pirâmide
é um pouco mais amplo: sua base pode ser formada por qualquer polígono. As
figuras abaixo representam pirâmides:

Algumas definições:

Uma pirâmide é um sólido geométrico, cuja base é um polígono e cujas

faces laterais são triângulos que possuem um vértice comum.

• A altura da pirâmide é um segmento perpendicular à base e que passa por V (vértice).
• Uma pirâmide é regular se a base é um polígono regular e as faces são triângulos iguais. Com isso o pé da altura é o centro do polígono da base, como mostram as figuras abaixo:

 O Cone

Um funil ou uma casquinha de sorvete dão a idéia do sólido geométrico

chamado cone. Um cone (mais precisamente, um cone circular reto) é o sólido

obtido da seguinte maneira: tome uma região do plano limitado por uma

circunferência e, de um ponto P situado exatamente acima do centro da

circunferência, trace os segmentos de reta unindo P aos pontos da circunferência

do círculo.

 

A pirâmide e o Cone

Há muita semelhança entre o cone e a pirâmide. A diferença é que a base do
cone é delimitada por um círculo, em vez de um polígono. Ambos podem ser
imaginados como um conjunto de segmentos que ligam um ponto P, exterior ao
plano, a uma região do plano, como mostra a figura abaixo.

O volume da pirâmide e do cone

Na Aula 63, você viu que o volume do prisma é igual ao produto da sua altura
pela área da base.
É possível mostrar que, se tivermos um prisma e uma pirâmide de mesma
base e mesma altura, o volume do prisma será o triplo do volume da pirâmide.

Você pode comprovar esse fato, experimentalmente. Para isso, basta construir,
em cartolina, um prisma e uma pirâmide de mesma base e mesma altura.

Usando areia ou grãos de arroz, encha a pirâmide e despeje seu conteúdo
no prisma.

 

Você vai observar que será necessário despejar cerca de três vezes o

conteúdo da pirâmide no interior do prisma, para enchê-lo por completo.

Com isso, concluímos que o volume da pirâmide é um terço do volume do

prisma:

onde A representa a área da base e h, sua altura.

Para determinar o volume do cone, podemos proceder de forma análoga.
Para isso, construa, em cartolina, um cone e um cilindro de mesma base e
mesma altura.

Enchendo o cone com areia, será necessário despejar três vezes seu
conteúdo no interior do cilindro, para enchê-lo.
Portanto, podemos concluir que o volume do cone é a terça parte do volume
do cilindro, de mesma base e mesma altura

Onde A representa a área da base e h, sua altura.

Assim, para toda pirâmide e para todo cone é válida a fórmula:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

(1ª Exercício)

(2ª Exercício)

A Esfera

Sem dúvida alguma, a esfera é considerada um dos sólidos mais curiosos que

existem, e sua forma tem sido extremamente útil ao homem.

É possível que os homens tenham criado a forma esférica a partir da

observação e do estudo dos corpos celestes, como o Sol e a Lua. Ou da

verificação de fenômenos como a sombra da Terra projetada sobre a Lua. O

formato de nosso planeta foi reproduzido em diversos objetos até chegar às

bolas de futebol, vôlei e outros.

Matematicamente, a esfera é o conjunto de todos os pontos do espaço cuja

distância a um ponto 0 é igual a uma distância R dada.

O volume da esfera 

A fórmula que dá o volume da esfera foi demonstrada pelo matemático

grego Arquimedes, no século III a.C., em seu livro sobre a esfera e o cilindro.

Usando o método de exaustão, inventado por outro matemático grego

chamado Eudoxo, Arquimedes provou que o volume de uma esfera é igual a

quatro vezes o volume do cone, cujo raio é o raio da esfera e cuja altura é também

o raio da esfera. Para tornar mais clara essa idéia, imagine a experiência que

poderia ser feita com as vasilhas da ilustração abaixo. Observe que uma é semiesférica e a outra é cônica, lembrando uma taça.

Elas têm a mesma boca, isto é, o raio da semi-esfera é igual ao raio da

circunferência do cone. Além disso, elas têm a mesma altura, isto é, a altura do

cone é igual ao raio da semi-esfera.

Despejando duas vezes o conteúdo da vasilha cônica no interior da vasilha

semi-esférica, conseguimos enchê-la completamente (figura abaixo). Isso significa

que a capacidade da semi-esfera é o dobro da capacidade do cone. Portanto,

a capacidade da esfera será quatro vezes a capacidade do cone.

Não é fácil fazer essa experiência. Onde encontrar uma vasilha esférica e

uma vasilha cônica? Entretanto, pela descrição da experiência, você pode

compreender a idéia de Arquimedes. Como dissemos, o grande matemático

grego demonstrou, por dedução, que o volume da esfera é quatro vezes o volume

do cone, que tem o raio da esfera e cuja altura é o raio da esfera.

Posteriormente, outros matemáticos criaram novos raciocínios para calcular

o volume da esfera. Em alguns livros de 2º grau, você pode encontrar uma

dedução para a fórmula do volume da esfera.

Vamos retomar a afirmação de Arquimedes. Observe a figura:

(3º Exercício)

Geometria Plana e Espacial

A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.

Prisma

Um prisma é todo poliedro formado por uma face superior e uma face inferior paralelas e congruentes (também chamadas de bases) ligadas por arestas. As laterais de um prisma são paralelogramos. A nomenclatura dos prisma é dada de acordo a forma da bases. Assim, se temos hexágonos nas bases, teremos um prisma hexagonal. O prisma pode ser classificado em reto quando suas arestas laterais são perpendiculares às bases, e oblíquo quando não são.

Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela:

Seções de um prisma 

Seção transversal: É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.

Seção reta (seção normal): É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais.

Princípio de Cavalieri: Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.

Prisma regular

É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares.

Exemplos: Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero. Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado.

Cubo

Definição e Elementos

Cubo é um prisma em que todas as faces são quadradas. O cubo é um prisma quadrangular regular cuja altura é igual à medida da aresta da base.

O cubo da figura tem arestas de medida l, então,

• as diagonais de suas faces medem  raiz de 2, pois são diagonais de quadrados de lados com medidas iguais a l.

as diagonais do cubo medem l raiz de 3, pois:

Área Total

A área de um quadrado de lado l é l ², então a área A da superfície de um cubo de aresta l é:

Paralelepípedos

Definição

Chamamos de paralelepípedo o prisma cujas bases são paralelogramos; dessa forma, todas as faces de um paralelepípedo são paralelogramos.

Paralelepípedo Reto Retângulo

Diagonais de um

paralelepípedo retângulo

No paralelepípedo da figura com dimensões a, b e c, sejam d₁ e d, as diagonais da face ABCD e do paralelepípedo, respectivamente.

Área total (A_T) de um

paralelepípedo retângulo

Sendo a, b e c as dimensões de um paralelepípedo retângulo, as áreas de cada par de faces opostas são: ab, ac e bc.

Assim,

Volume (V) de um paralelepípedo retângulo

              Sendo a, b e c as dimensões do paralelepípedo retângulo, temos:

Exercícios resolvidos:

(VUNESP – 07) Calcular o volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo que suas dimensões são proporcionais a 9, 12 e 20, e que a diagonal mede 100 m.

Resolução

d² = a² + b² + c²

100² = (20k)² + (12k)² + (9k)²

100² = 625k²

Assim, 25k = 100 k = 4

Então, a = 20 · 4 = 80 m

b = 12 · 4 = 48 m

c = 9 · 4 = 36 m

V = a · b · c = 80 · 48 · 36

(Fuvest-SP) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestas medindo 10 cm e 6 cm, são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquido é moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8 cm, 8 cm e x cm. O valor de x é:
   a) 16 m                    d) 19 m

b) 17 m                    e) 20 m

c) 18 m

Resposta: D

Pelo enunciado, o volume do paralelepípedo é igual à soma dos volumes dos cubos.
Assim,

8 · 8 · x = 6³ + 10³

64 x = 216 + 1 000

64 x = 1 216 x = 19

(Mackenzie-SP 2000) Se a soma dos ângulos internos de todas as faces de um prisma é 6 480°, então o número de lados da base do prisma é

a) 8               d) 12

b) 9               e) 15

c) 10

Resolução

Sendo n o número de lados da base do prisma, então este possui n faces laterais quadrangulares e duas faces que são polígonos de n lados. Portanto, a soma dos ângulos  internos de todas as sua faces é

n · 360° + 2 · (n – 2) · 180°

Conseqüentemente,

n · 360° + 2 · (n – 2) · 180° = 6 480° n = 10

Resposta: C

Vídeo Geometria Plana

 

Vídeo Geometria Espacial